≈1.038,化简过程是相当复杂的，因此老黄把化简过程略去了。这个问题也困扰了老黄好几个小时。最后老黄得到了一个基本事实：函数中，不能同时存在弧度和角度，为了避免产生混乱，尽可能使用弧度。现在想一想，古人是怎么得到会圆术的。所以会圆术，其实就是割圆术的一个产物。不知道老黄这么说对不对，你说的呢！
这是2022年高考理科数学全国甲卷的一道选择题，介绍了沈括的《梦溪笔谈》中收录的一种求弧长的方法，叫做“会圆术”。
沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”. 如图，弧AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在弧AB上，CD⊥AB. “会圆术”给出弧AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB CD^2/OA. 当OA=2，∠AOB=60度时，s=
A. (11-3根号3)/2； B. (11-4根号3)/2； C. (9-3根号3)/2； D. (9-4根号3)/2.
分析：解决这个问题是非常容易的。连接OC，则O,C,D在同一直线上，因为三角形AOB是等腰三角形，C是底边AB的中点，所以OC垂直于AB，又CD垂直于AB，过C只有一条直线垂直于AB，所以三点共线。
因为圆心角等于60度，所以△AOB是等边三角形，∴AB=OA=2，OC=根号3 OA/2=根号3，
∴CD=OD-OC=2-根号3. 将AB，CD，OA代入公式，就可以求得：
s=AB CD^2/OA=2 (2-根号3)^2/2=(11-4根号3)/2, 选B.
了解老黄的小伙伴们就会知道，老黄不会只是为了解决问题本身而已。
第一个问题，“会圆术”的结果准确吗？精确度怎么样？
我们可以用现代用来求弧长的公式求一求：s=nπr/180=πOA/3=2π/3≈2.10.
而会圆术求得的结果是(11-4根号3)/2≈2.04. 误差是：2.04-2.10≈-0.06. 可见，这个误差还是有点大的。
第二个问题，古人是怎么得到会圆术的呢？为此，老黄用现代表示公式的方法，把会圆术的弧长公式表示为：s=根号(2r^2-2r^2cosn)(r-rcos(n/2))^2/r.
其中AB=根号(2r^2-2r^2cosn)，CD=r-rcos(n/2), OA=r. 并且对它进行化简，有下面两种形式：
s=2rsin(n/2) r(1-cos(n/2))^2=r(2sin(n/2) 4(sin(n/4))^4). 一会儿用哪个形式分析简便，就用哪个形式。接下来检验几个特殊角度：
当n=2π时，s=4r<2πr (结果是非常不准确的);
当n=π时，s=3r<πr (虽然还是不准确，但比整圆已经准确很多了)；
当n=π/2时，s=3r/2(明显结果越来越准确了，因此可以猜想：圆心角越小会圆术求得的弧长越准确).
为此，老黄将原题求60度的弧长，改成求两个30度的弧长。看看是否准确一些。
当n=30度时，s/2=2根号(2-根号3) 2(1-根号(根号3/2 1)/根号2)2=(化简略)…≈1.038, 化简过程是相当复杂的，因此老黄把化简过程略去了。
现在x≈2.08, 误差：2.08-2.10≈-0.02. 显然，误差变小了。但是是否就可以下结论：圆心角越小，"会圆术"得到的弧长就越准确呢？当然还不行了。如果想把这个猜想当作定理，就需要有一个普遍性的证明，不能通过检验特殊角度，就下这样的结论。
为此，老黄记f(x)=|2sin(x/2) 4(sin(x/4))^4-x|, x∈[0,2π]. 它表示单位圆内，用会圆术求得的弧长与现代公式求得的弧长的绝对误差。不知道你有没有疑惑，为什么老黄用x直接表示现代公式求得的弧长。
这个问题也困扰了老黄好几个小时。因为老黄在使用求弧长的现代公式，一直用x表示角度，代进函数中，怎么分析都要出错。最后老黄得到了一个基本事实：函数中，不能同时存在弧度和角度，为了避免产生混乱，尽可能使用弧度。因此，x就直接表示弧长了。这一点是非常重要的哦。
现在我们取误差函数g(x)=2sin(x/2) 4(sin(x/4))^4-x，并且对它求导，得到：
g’(x)=cos(x/2) 4(sin(x/4))^3cos(x/4)-1=cos(x/2) 2(sin(x/4))^2sin(x/2)-1
=cos(x/2)-(1-2(sin(x/4))^2)sin(x/2) sin(x/2)-1=(cos(x/2)-1)(1-sin(x/2))<0, 这个化简过程还是相当有技术含量的。
可见g(x)单调递减，所以g(x)<g(0), 从而f(x)=-g(x)>0且单调递增。换句话说，就是f(x)在[0,2π]上，角度越大，绝对误差就越大。反之，角度越小，绝对误差就越小。猜想得证！
现在想一想，古人是怎么得到会圆术的。对圆进行分割，分割到的角度越小，得到的弧长就越准确，那不就是割圆术吗？所以会圆术，其实就是割圆术的一个产物。不知道老黄这么说对不对，你说的呢！
